الأعدادالمركبة(ComplexNumbers)شرحمفصل
مقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبة(ComplexNumbers)هيأعدادتتكونمنجزأين:جزءحقيقي(RealPart)وجزءتخيلي(ImaginaryPart).يتمتمثيلالعددالمركبعادةًبالصيغةالتالية:الأعدادالمركبةComplexNumbersشرحمفصل
[z=a+bi]
حيث:
-(a)هوالجزءالحقيقي.
-(b)هوالجزءالتخيلي.
-(i)هوالوحدةالتخيلية،والتيتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد-1،أي:
[i=\sqrt{ -1}]
لماذانستخدمالأعدادالمركبة؟
فيالرياضيات،واجهالعلماءمشكلةعندمحاولةحلبعضالمعادلاتالتيلاتحتويعلىحلولضمنمجموعةالأعدادالحقيقية.علىسبيلالمثال،المعادلة:
الأعدادالمركبةComplexNumbersشرحمفصل[x^2+1=0]
الأعدادالمركبةComplexNumbersشرحمفصللايوجدلهاحلضمنالأعدادالحقيقيةلأن(x^2)لايمكنأنيكونسالبًا.هناجاءتفكرةالأعدادالمركبةلتوسيعنطاقالأعدادوجعلحلمثلهذهالمعادلاتممكنًا.
الأعدادالمركبةComplexNumbersشرحمفصلخصائصالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:
الأعدادالمركبةComplexNumbersشرحمفصل
عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]الضرب:
الأعدادالمركبةComplexNumbersشرحمفصل
عندضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونأخذفيالاعتبارأن(i^2=-1).
[(a+bi)\cdot(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]المرافقالمركب(ComplexConjugate):
الأعدادالمركبةComplexNumbersشرحمفصل
مرافقالعددالمركب(z=a+bi)هو(\overline{ z}=a-bi).يُستخدمالمرافقفيتبسيطالقسمةوإيجادمعيارالعددالمركب.المعيار(Modulus):
الأعدادالمركبةComplexNumbersشرحمفصل
معيارالعددالمركب(z=a+bi)هو:
[|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبكنقطةفيالمستوىالإحداثي(يُسمىالمستوىالمركب)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي.
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي.
بهذهالطريقة،يصبحمنالسهلفهمالعملياتمثلالجمعوالضربهندسيًا.
الأعدادالمركبةComplexNumbersشرحمفصلتطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالات،منها:
-الهندسةالكهربائية:تحليلالدوائرالكهربائيةالتيتعملبالتيارالمتردد.
-الفيزياء:فيميكانيكاالكمومعادلاتالموجات.
-معالجةالإشارات:فيتحليلالإشاراتالرقميةوالتناظرية.
الخلاصة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادوتسمحبحلمعادلاتلميكنلهاحلولسابقًا.بفضلخصائصهاالفريدةوتطبيقاتهاالواسعة،أصبحتجزءًاأساسيًافيالرياضياتوالعلومالحديثة.
الأعدادالمركبةComplexNumbersشرحمفصل